Question

15．圆x²+y²=9的切线MT过双曲线$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{12}$=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|-|PT|=2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 由双曲线方程，求得c=$\sqrt{21}$，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=$\frac{1}{2}$|PF′|，|PT|=$\frac{1}{2}$|MF|-|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|-|PT|=|FT|-$\frac{1}{2}$（|PF|-|PF′|）=2$\sqrt{3}$-3．

解答 解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，
∴|PO|=$\frac{1}{2}$|PF′|，|PT|=$\frac{1}{2}$|MF|-|FT|，
根据双曲线的方程得：
a=3，b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{21}$，
∴|OF|=$\sqrt{21}$，
∵MF是圆x²+y²=9的切线，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|=$\sqrt{丨OF{丨}^{2}-丨OT{丨}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴|PO|-|PT|=$\frac{1}{2}$|PF′|-（$\frac{1}{2}$|MF|-|FT|）=|FT|-$\frac{1}{2}$（|PF|-|PF′|）=2$\sqrt{3}$-3，
故答案为：2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．