Question

（本小题满分12分）
如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,且,为中点.

（1）求证:平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）推证平面,得到，同理可证，平面．
(2) 。

试题分析：（1）证明：∵底面为正方形，
∴，又， ∴平面,∴     ………2分
同理可证， ∴平面．                     ………4分
(2)建立如图的空间直角坐标系,,

则.       ………6分
设为平面的一个法向量，
则，.又
令则
  ………9分
又是平面的一个法向量, ………10分
设二面角的大小为 ，则
  ………12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。本题通过空间直角坐标系，利用向量知识可简化证明过程。把证明问题转化成向量的坐标运算，这种方法带有方向性。