Question

已知向量

a

=（2cosx，-

2

），

b

=（3sinx-cosx，sin（2x+

π

4

）），设f（x）=

a

•

b

+1
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[

5π

24

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）先化简可得f（x）=2

2

sin（2x-

π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可求得递增区间；
（2）由

5π

24

≤x≤

3π

4

，得

π

6

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，则-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，进而可得f（x）的取值范围，于是可得最大值、最小值；

解答： 解：f（x）=2cosx（3sinx-cosx）-

2

sin（2x+

π

4

）+1
=3sin2x-2cos²x-sin2x-cos2x+1
=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

），
（1）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3

8

π]，（k∈Z）；
（2）∵

5π

24

≤x≤

3π

4

，∴

π

6

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，
∴-2≤2

2

sin（2x-

π

4

）≤2

2

，
∴f_min（x）=-2，f_max（x）=2

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积运算、三角恒等变换及三角函数的性质，具有一定的综合性，熟记相关知识是解决问题的基础．