Question

已知函数f（x）=x²-

2

3

ax³（a＞0），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数在某点取得极值的条件,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；
（Ⅱ）由f（0）=f（

3

2a

）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，

3

2a

）时，f（x）＞0；当x∈（

3

2a

，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={

1

f(x)

|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2x-2ax²=2x（1-ax），令f（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	0	递增	1 3a2	递减

所以，f（x）的单调递减区间为：（-∞，0）和(

1

a

，+∞)，单调递增区间为(0，

1

a

)，
当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=

1

a

时，有极大值f（

1

a

）=

1

3a2

；

（Ⅱ）由f（0）=f（

3

2a

）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，

3

2a

）时，f（x）＞0；当x∈（

3

2a

，+∞）时，f（x）＜0．
设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={

1

f(x)

|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅
下面分三种情况讨论：
①当

3

2a

＞2，即0＜a＜

3

4

时，由f（

3

2a

）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；
②当1≤

3

2a

≤2，即

3

4

≤a≤

3

2

时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（-∞，f（2）），∴A⊆（-∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（-∞，0），即（-∞，0）⊆B，∴A⊆B；
③当

3

2a

＜1，即a＞

3

2

时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（

1

f(1)

，0），A=（-∞，f（2）），∴A不是B的子集．
综上，a的取值范围是[

3

4

，

3

2

]．

点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．