Question

17．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1上的一个动点，点A（1，1），B（0，-1），则|PA|+|PB|的最大值为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（0，-1）和B'（0，1）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=4+（|PA|-|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=4+|AB'|=5达到最大值，从而得到本题答案．

解答 解：∵椭圆$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
∴焦点坐标为B（0，-1）和B'（0，1），
连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，
得|PB|+|PB'|=2a=4，可得|PB|=4-|PB'|，
因此|PA|+|PB|=|PA|+（4-|PB'|）=4+（|PA|-|PB'|）
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|
∴|PA|+|PB|≤2a+|AB'|=4+1=5．
当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立．
综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为5．
故选：A．

点评 本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点B的距离和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．