Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³-

1

4

x2+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0且f′（x）≥0 在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）-mx在区间[1，2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,存在型,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）求出函数的导数，由f（0）=0得到d=0，由f′（1）=0，得到a+c=

1

2

，再由f′（x）≥0 在R上恒成立，即
ax²-

1

2

x+c≥0恒成立，讨论a=0，a≠0，结合判别式小于0，即可得到a，c的值；
（2）假设存在m，使g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

在区间[1，2]上有最小值-5，讨论①当2m+1≤1即m≤0②当1＜2m+1＜2，即0＜m＜

1

2

③当2m+1≥2，即m≥

1

2

，考虑对称轴和区间的关系，由单调性确定最小值，解方程即可得到．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

ax³-

1

4

x2+cx+d，f（0）=0，∴d=0，
∵f′（x）=ax²-

1

2

x+c，f′（1）=0，∴a+c=

1

2

，
∵f′（x）≥0 在R上恒成立，即ax²-

1

2

x+c≥0恒成立，
a=0，不恒成立；a≠0，有a＞0，且

1

4

-4ac≤0，即

1

4

-4a（

1

2

-a）≤0，
即有（4a-1）²≤0，则a=

1

4

，
则a=c=

1

4

，d=0；
（2）假设存在m，使g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

在区间[1，2]上有最小值-5
由g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

的图象开口向上且对称轴x=2m+1．
①当2m+1≤1即m≤0，g（x）在[1，2]上递增，则g（1）=-5，即

1

4

-（

1

2

+m）+

1

4

=-5，
解得m=5与m≤0矛盾，则m≠5；
②当1＜2m+1＜2，即0＜m＜

1

2

，g（x）在[1，2m+1]上递减，[2m+1，2]上递增，
则g（2m+1）=-5，即

1

4

（2m+1）2-（

1

2

+m）（2m+1）+

1

4

=-5，解得m=-

1

2

±

21

2

，
均与0＜m＜

1

2

矛盾，则m≠-

1

2

±

21

2

；
③当2m+1≥2，即m≥

1

2

，g（x）在[1，2]上递减，则g（2）=-5，
即

1

4

×4-（

1

2

+m）×2+

1

4

=-5，解得m=

21

8

，满足m≥

1

2

．
综上，当m=

21

8

时，函数g（x）=f′（x）-mx在区间[1，2]上有最小值-5．

点评：本题考查导数的运用，考查二次不等式的恒成立问题，以及二次函数在闭区间上的最值问题，注意结合对称轴，运用单调性求解，考分类讨论的思想方法，属于中档题．