Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，若|

a

+

b

|=2

a

•

b

，则sin2x+tanx=（　　）

• A、-1
• B、0
• C、2
• D、-2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：首先求出|

a

+

b

|和2

a

•

b

，然后利用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等化简求值．

解答： 解：因为向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，
所以

a

+

b

=（cos

3x

2

+cos

x

2

，sin

3x

2

-sin

x

2

），所以|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2cosx，

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
因为|

a

+

b

|=2

a

•

b

，
所以2cosx=2cos2x，所以2cosx=4cos²x-2，解得cosx=1或cosx=-

1

2

（舍去），所以sinx=0，
所以sin2x+tanx=2sinxcosx+0=0；
故选B．

点评：本题考查了向量的运算以及三角恒等式的等价变换，其中注意函数名称以及符号．