Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D为侧棱AA₁的中点
（1）求证：BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）求二面角B₁-CD-C₁的大小（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，CC₁⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）以C为原点，直线CA，CB，CC₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-CD-C₁的大小．

解答 证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC
∴AC⊥BC，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥BC，
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
解：（2）以C为原点，直线CA，CB，CC₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（2，0，1），
由（1）得$\overrightarrow{CB}$=（0，2，0）是平面ACC₁A₁的一个法向量，
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，1），
设平面B₁CD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=2x+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-2），
设二面角B₁-CD-C₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2×3}$=$\frac{2}{3}$，
由图形知二面角B₁-CD-C₁的大小是锐角，
∴二面角B₁-CD-C₁的大小为arccos$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．