Question

4．如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，且SE=2EB．
（1）证明：DE∥平面SBC；
（2）求二面角A-DE-C的大小．

Answer 1

分析 （1）分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面SBC．
（Ⅱ）向量$\overrightarrow{FA}$与$\overrightarrow{EC}$的夹角等于二面角A-DE-C的平面角，由此利用向量法能求出二面角A-DE-C的大小．

解答 证明：（1）分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z建立空间直角坐标系（如图），
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DS}$=（0，0，2）
∵SE=2EB，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DS}$=$\frac{2}{3}（1，1，0）+\frac{1}{3}（0，0，2）=（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$，
又$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{BS}=（-1，-1，2）$，
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}=0，\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BS}=0$，
∴$\overrightarrow{DE}⊥\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DE}⊥\overrightarrow{BS}$，
又BC∩BS=B，∴DE⊥平面SBC．（6分）
解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，DE⊥平面SBC，
∵EC?平面SBC，∴DE⊥EC，
当SE=2EB时，知E（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），
取DE中点F，则F（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{2}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$），
故$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{DE}$=0，由此得FA⊥DE
∴向量$\overrightarrow{FA}$与$\overrightarrow{EC}$的夹角等于二面角A-DE-C的平面角
又cos＜$\overrightarrow{FA}，\overrightarrow{EC}$＞=$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{FA}|•|\overrightarrow{EC}|}$=-$\frac{1}{2}$，
∴二面角A-DE-C的大小为120°．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．