Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₁）成立，则称为

.

W

函数，下面四个命题：
①若函数f（x）为

.

W

函数，则f（0）=0；
②函数f（x）=2^x-1，x∈[0，1]，是

.

W

函数；
③

.

W

函数f（x）一定不是单调函数；
④若函数f（x）是

.

W

函数，假设存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀则f（x₀）=x₀
其中真命题是：

 

．（填上所有真命题的序号）

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：①首先，根据理想函数的概念，可以采用赋值法，可考虑取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0；
②要判断函数g（x）=2^x-1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为

.

W

函数，只要检验函数g（x）=2^x-1，是否满足理想函数的三个条件即可；
对于③设f（x）=4^x-4已知是

.

W

函数，同时也是单调函数
④由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x₀）=x₀，根据f[f（x₀）]=x₀，则f（x₀）=x₀．

解答： 解：对于①取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0，故正确；
对②显然f（x）=2^x-1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0
故f（x）=2^x-1满足条件①②③，所以f（x）=2^x-1为理想函数．
对于③设f（x）=4^x-4已知是

.

W

函数，同时也是单调函数，故不正确；
对于④）∵f（x）为

.

W

函数，依题意，任意给m，n∈[0，1]，
当m＜n时，必有n-m∈[0，1]，f（n-m）≥0，
∴f（n）=f[（n-m）+m]）≥f（n-m）+f（m）≥f（m），
又x₀∈[0，1]且f（x₀）∈[0，1]，f[f（x₀）]=x₀，
∴若1≥f（x₀）＞x₀≥0，则f[f（x₀）]≥f（x₀），即x₀≥f（x₀）与f（x₀）＞x₀矛盾；
若0≤f（x₀）＜x₀≤1，同理可得f（x₀）≥x₀，与f（x₀）＜x₀矛盾；
∴f（x₀）=x₀，故（4）正确．
故答案：（1）（2）（4）．

点评：本题结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．着重考查推理论证、抽象思维、创新思维的综合运用．