Question

12．已知长方形ABCD如图1中，AD=$\sqrt{3}$，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱锥P-BCDE如图2所示．

（Ⅰ）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；
（Ⅱ）当平面PDE⊥平面BCDE时，求三棱锥E-PCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DP中点F，连结EF、FM，推导出FEBM是平行四边形，从而BM∥EF，由此能证明BM∥平面PDE．
（Ⅱ）过P作PH⊥DE于H，则PH⊥平面EBCD，三棱锥E-PCD的体积V_E-PCD=V_P-DEC，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）取DP中点F，连结EF、FM，
∵△PDC中，点F、M分别是DP、PC的中点，
∴FM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，又EB$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，
∴FM$\underset{∥}{=}$EB，∴FEBM是平行四边形，∴BM∥EF，
又EF?平面PDE，BM?平面PDE，
∴BM∥平面PDE．
解：（Ⅱ）∵平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD=DE，
过P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，
在Rt△PDE中，过P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，
在Rt△PDE中，由题意得PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DEC中，DE=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{{1}^{2}}_{\;}}$=2，且DE=EC=2，
∴${S}_{△DEC}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥E-PCD的体积V_E-PCD=V_P-DEC=$\frac{1}{3}×{S}_{△DEC}×PH$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．