Question

20．已知函数f（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的对称轴方程，可得f（x）在[0，1]递减，即可得到最值，解方程可得a，b的值；
（2）由题意可得$m≤x-4+\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，运用对号函数的单调性，可得右边函数的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²-4ax+b（a＞0）=a（x-2）²+b-4a，
∵a＞0，开口向上，对称轴x=2，
∴f（x）在[0，1]递减，
∴f（0）=b=1，f（1）=b-3a=-2，
∴a=b=1；
（2）∵f（x）=x²-4x+1≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴$m≤x-4+\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，
∵双勾函数y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1]递减，在[1，+∞）递增，
∴当x=1时，x-4+$\frac{1}{x}$取得最小值，且为2-4=-2，
则m≤-2．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和对号函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．