Question

20．已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求AD⊥CE．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，求出各点的坐标，可以利用向量的数量或直线的斜率即可证明．

解答 解：方法一：以C为原点，CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，
设CA=CB=2，
则CD=1，
∴C（0，0），D（0，1），A（2，0），B（0，2），
∵AE=2EB，
根据三等分点坐标公式，
∴E点的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（2，-1），
∴$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{3}$-$\frac{4}{3}$=0，
∴$\overrightarrow{CE}$⊥$\overrightarrow{AD}$，
∴AD⊥CE，
方法二，以C为原点，CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，
设CA=CB=2，
则CD=1，
∴C（0，0），D（0，1），A（2，0），B（0，2），
∵AE=2EB，根据三等分点坐标公式，
∴E点的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴k_CE=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}$=2，kAD=$\frac{0-1}{2-0}$=-$\frac{1}{2}$，
∴k_CE•k_AD=-1，
∴AD⊥CE．

点评 本题考查了利用向量和斜率的关系求证直线垂直的问题，关键是建立坐标系，求出点的坐标．