Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

6

ax⁴（x∈R，a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）记g（x）=f′（x），若对任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞）使得g（x₁）•g（x₂）=1，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求导数，然后解不等式，要注意数形结合，分类讨论；
（2）实际上是两个函数y=g（x）与函数y=

1

g(x)

值域间的关系的判断，即y=g（x）的值域是y=

1

g(x)

值域的子集即可．

解答： 解：（1）f′(x)=-

2a

3

(x-

3

2a

)x2，
∵a＞0∴x＜

3

2a

⇒f′(x)＞0；x＞

3

2a

⇒f′（x）＜0．
所以函数f（x）的增区间为（-∞，

3

2a

），减区间为（

3

2a

，+∞）；
（2）由题意g（x）=x2-

2

3

ax3∴g′(x)=-2ax(x-

1

a

)，
所以函数y=g（x）的减区间为（

1

a

，+∞）和（-∞，0），增区间为（0，

1

a

）．
又∵g(0)=g(

3

2a

)=0且x∈(0，

3

2a

)⇒g（x）＞0∴x∈(

3

2a

，+∞)⇒g（x）＜0，
设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={

1

g(x)

|x∈（1，+∞），g（x）≠0}，
对任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞）使得g（x₁）g（x₂）=1?A⊆B，
当

3

2a

＞2即0＜a＜

3

4

时，若x1=

3

2a

时，g(

3

2a

)=0不存在x₂使得g（x₁）g（x₂）=1，
不符合题意，舍去．
当1≤

3

2a

≤2时，即

3

4

≤a≤

3

2

时，
A=（-∞，g（2））⇒A⊆（-∞，0），因为g（1）≥0
∴g（x）在区间（1，+∞）上的取值包含（-∞，0），则（-∞，0）⊆B，∴A⊆B满足题意，
当

3

2a

＜1，即a＞

3

2

时，g（1）＜0且g（x）在（1，+∞）上递减，B=（

1

g(1)

，0）
A=（-∞，g（2）），∴A?B不满足题意，
综上满足题意的实数a的取值范围是

3

4

≤a≤

3

2

．

点评：本题能够把问题转化为两个函数值域间的包含关系是解题的关键，类型为：对其中一个自变量的任意的函数值，另一个变量总能存在至少一个与之对应．要注意整理和记忆．