Question

3．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）作出二面角E-AC-D的平面角并求出它的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，由此能证明平面PDC⊥平面PAD．
（2）过E作EF⊥平面ADC，交AD于F，过F作FO⊥AC，交AC于O，连结EO，则∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，由此能求出二面角E-AC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．
解：（2）过E作EF⊥平面ADC，交AD于F，过F作FO⊥AC，交AC于O，连结EO，
由三垂线定理及逆定理得EO⊥AO，则∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，
∵E是PD的中点，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，
∴EF=$\frac{1}{2}PA$=1，
∵∠ADC=∠AOF=90°，∠DAC=∠OAF，
∴△AOF∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{OF}{DC}$，∴OF=$\frac{AF•DC}{AC}$=$\frac{2×2}{\sqrt{20}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=$\sqrt{\frac{4}{5}+1}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴cos$∠EOF=\frac{OF}{OE}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2}{3}$．
∴二面角E-AC-D的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．