Question

13．设函数f（x）=x²-8lnx+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得f′（1），从而由直线的点斜式可得函数所对应曲线在点（1，4）处的切线方程；
（2）通过f′（x）＞0可求其递增区间，通过f′（x）＜0可求其单调减区间．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-8lnx+3，
∴f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-8}{x}$（x＞0），
∴f′（1）=-6，
∴曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程为y-4=-6（x-1），即6x+y-10=0；
（2）令f′（x）＞0，可得x＞2，f′（x）＜0，可得0＜x＜2，
∴函数的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．