Question

已知函数f（x）=

1

4

（x+1）²，若存在t∈R，只要x∈[1，m]（m＞1），就有f（x+t）≤x，则m的最大值是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：设g（x）=f（x+t）-x=

1

4

（x+t+1）²-x=

1

4

x²+

1

2

（t-1）x+

1

4

（t+1）²，从而得到g（1）≤0且g（m）≤0；从而得到-4≤t≤0；再由图象变换知，f（x+t）可看作f（x）向右平移|t|个单位得到，故平移量最大时，m有最大值，从而取t=-4，求m即可．

解答： 解：设g（x）=f（x+t）-x=

1

4

（x+t+1）²-x=

1

4

x²+

1

2

（t-1）x+

1

4

（t+1）²，
则结合二次函数的性质知，
g（1）≤0且g（m）≤0；
由g（1）≤0知，

1

4

（1+t+1）²-1≤0，
解得，-4≤t≤0；
而f（x+t）可看作f（x）向右平移|t|个单位得到，
故平移量最大时，m有最大值，
则g（m）=

1

4

（m+t+1）²-m≤0可化为

1

4

（m-4+1）²-m≤0；
即m²-10m+9≤0；
解得，m∈[1，9]；
故m的最大值是9；
故答案为：9．

点评：本题考查了函数的性质应用及函数的变换，理解较难，属于中档题．