Question

已知△ABC中，∠A=2∠B，∠C为钝角，且∠A、B、C所对的边为a，b，c的长度均为整数，则△ABC的周长最小值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，利用倍角公式扩大a=

bsin2B

sinB

=2bcosB，c=

bsin3B

sinB

=3b-4bsin²B=3b-4b（1-cos²B），化为c=

a2

b

-b．由于A=2B，C=π-A-B=π-3B＞

π

2

，可得0＜B＜

π

6

．可得

3

2

＜cosB＜1．利用1.732b＜a＜2b，能取得的最小整数是b=4，a=7，又

a2

b

是整数，因此取得最小值为b=16，a=28．c=33．即可得出．

解答： 解：由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴a=

bsin2B

sinB

=2bcosB，c=

bsin3B

sinB

=

b(3sinB-4sin3B)

sinB

=3b-4bsin²B=3b-4b（1-cos²B），
∴c=3b-4b[1-(

a

2b

)2]，
化为c=

a2

b

-b．
∵A=2B，C=π-A-B=π-3B＞

π

2

，可得0＜B＜

π

6

．
∴

3

2

＜cosB＜1．
∴1.732b＜a＜2b，能取得的最小整数是b=4，a=7，
又c=

a2

b

-b．
又

a2

b

是整数，∴将4与7扩大4倍得到16与28．
c=33．
∴△ABC的周长最小值为16+28+33=77．
故答案为：77．

点评：本题考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函数进步关系式、三角函数的单调性、整数的理论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．