Question

已知：△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且a²+c²-b²=

1

2

ac，
（1）求cos2B的值；      
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosB=

1

4

，再利用二倍角公式求得cos2B的值．
（2）由cosB=

1

4

，可得sinB=

15

4

，再根据a²+c² =b²+

1

2

ac=4+

1

2

ac，利用基本不等式求得ac≤

8

3

，可得△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB的最大值．

解答： 解：（1）△ABC中，a²+c²-b²=

1

2

ac，则由余弦定理求得cosB=

1

4

，
∴cos2B=2cos²B-1=-

7

8

．
（2）由cosB=

1

4

，可得sinB=

15

4

．
∵b=2，∴a²+c² =b²+

1

2

ac=4+

1

2

ac≥2ac，求得ac≤

8

3

（a=c时取等号）．
故△ABC面积S=

1

2

ac•sinB≤

15

3

，故S的最大值为

15

3

．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．