Question

4．已知f（x）=（x+1）|x|-3x．若对于任意x∈R，总有f（x）≤f（x+a）恒成立，则常数a的最小值是$3+\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 写出分段函数解析式，画出图形，把a的最小值转化为求线段MN的最大值，然后利用基本不等式求解．

解答 解：f（x）=（x+1）|x|-3x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$，
作出分段函数图象如图：
作平行于x轴的直线l与f（x）有3个交点，
设最左边的点为M，最右边的点为N，则a的最小值为线段MN长度的最大值，
设直线l：y=t，则
MN=3+$\sqrt{1+t}+\sqrt{4-t}$=$3+\sqrt{（\sqrt{1+t}+\sqrt{4-t}）^{2}}$
=3+$\sqrt{5+2\sqrt{（1+t）（4-t）}}$$≤3+\sqrt{5+1+t+4-t}=3+\sqrt{10}$．
当且仅当1+t=4-t，即t=$\frac{3}{2}$是上式取“=”．
故答案为：$3+\sqrt{10}$．

点评 本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，解答此题的难点在于把a的最小值转化为求线段MN的最大值，属难题．