Question

14．一块四边形土地的形状如图，它的三边长分别是2（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）m，2$\sqrt{2}$m，4m，两个内角是120°和105°，则四边形的面积为（　　）

• A． 10+8$\sqrt{3}$m²
• B． 12+10$\sqrt{3}$m²
• C． 12+8$\sqrt{3}$m²
• D． 10+10$\sqrt{3}$m²

Answer 1

分析 通过余弦定理求出其中一条对角线长度，将四边形分成两个三角形，再用S=$\frac{1}{2}$absinC进行解答．

解答 解：如图，连接BD．
在△ABD中，由余弦定理得到：BD²=（2$\sqrt{2}$）²+4²-2×2$\sqrt{2}$×4cos105°=24-16$\sqrt{2}$（cos60°cos45°-sin60°sin45°）=24-16$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$=16+8$\sqrt{3}$，
则BD=2+2$\sqrt{3}$．
在△ABD中，由正弦定理得到：$\frac{BD}{sin105°}$=$\frac{4}{sin∠ABD}$，即$\frac{2+2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$=$\frac{4}{sin∠ABD}$，
解得sin∠ABD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴0＜∠ABD＜120°，
∴∠ABD=45°，
∴∠CBD=120°-45°=75°，
∴S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{2}$sin105°+$\frac{1}{2}$×2（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×（2+2$\sqrt{3}$）sin75°=4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$+（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×（2+2$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=12+8$\sqrt{3}$m²．
故选：C．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值，诱导公式，三角函数在直角三角形中的应用，本题中求DB的长度和∠ABD的度数是解题的关键．