Question

19．命题p：“关于x的方程x²+ax+1=0有解”，命题q：“?x∈R，e^2x-2ex+a≥0恒成立”，若“p∧q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若p为真，可得△≥0，解得a范围．若q为真，令h（x）=e^2x-2ex+a，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出，a的取值范围．由“p∧q”为真，可得p为真且q为真．

解答 解：若p为真，则△=a²-4≥0，故a≤-2或a≥2．
若q为真，则令h（x）=e^2x-2ex+a，则h′（x）=2e^2x-2e=2e（e^2x-1-1），
令h′（x）＜0，则$x＜\frac{1}{2}$，∴h（x）在$（-∞，\frac{1}{2}）$上单调递减；
令h′（x）＞0，则x$＞\frac{1}{2}$，∴h（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增．∴当$x=\frac{1}{2}$时，h（x）有最小值，
$h{（x）_{min}}=h（\frac{1}{2}）=e-e+a=a$．
∵?x∈R，h（x）≥0恒成立，∴a≥0．
∵“p∧q”为真，∴p为真且q为真．∴$\left\{\begin{array}{l}a≤-2或a≥2\\ a≥0\end{array}\right.$，解得a≥2．
从而所求实数a的取值范围为[2，+∞）．

点评 本题考查了导数的应用、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．