Question

8．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且$\frac{c}{b}=\sqrt{2}sinC$．
（1）求B；
（2）若a=6，△ABC的面积为9，求b的长，并判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合范围0＜B＜π，可得B的值．
（2）利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求b的值，分类讨论，即可判定三角形的形状．

解答 解：（1）由$c=\sqrt{2}bsinC$，可得$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}$．
根据正弦定理可得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由于0＜B＜π，可得：B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
（2）因为△ABC的面积为9=$\frac{1}{2}$acsinB，a=6，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\frac{1}{2}×6c×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=9$．
解得$c=3\sqrt{2}$．
由余弦定理可知${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB=54-36\sqrt{2}cosB$，
由$cosB=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得b²=18或b²=90，
所以$b=3\sqrt{2}$或$b=3\sqrt{10}$．
当$b=3\sqrt{2}$时，此时$b=c=3\sqrt{2}，a=6$，△ABC为等腰直角三角形；
当$b=3\sqrt{10}$时，此时$c=3\sqrt{2}，a=6$，△ABC为钝角三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．