Question

已知函数f（x）=lnx，
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）若不等式f（x）≤ax≤x²+1对?x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）0＜a＜b，求证f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出g（x）=ln（x-1）-x（x＞-1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．
（2）本小题转化为不等式组在x＞0上恒成立，进一步转化为（

lnx

x

）_max≤a≤（x+

1

x

）_min，设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，然后构造函数h（x）=

lnx

x

，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式，从而可知a的取值范围．
（3）即需证lnb-lna＞

2ab-2a2

a2+b2

，得ln

b

a

＞

2b a -2

1+( b a )2

，设

b

a

=t，则需证lnt＞

2t-2

1+t2

（t＞1），设H（t）=（1+t²）lnt-（2t-2）（t＞1），从而H（t）在（1，+∞）上递增，得出（1+t²）lnt＞2t-2，从而原不等式得证．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x+1）-x=ln（x+1）-x，x＞-1，
∴g′（x）=-

x

x+1

．
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．
（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，
∴

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立，进一步转化为（

lnx

x

）_max≤a≤（x+

1

x

）_min，
设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）≤

1

e

．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥

1

e

．
另一方面，当x＞0时，x+

1

x

≥2，
要使ax≤x²+1恒成立，必须a≤2，
∴满足条件的a的取值范围是[

1

e

，2]．
（3）即需证lnb-lna＞

2ab-2a2

a2+b2

，
∴ln

b

a

＞

2b a -2

1+( b a )2

，
设

b

a

=t，∵0＜a＜b，∴t＞1，则需证lnt＞

2t-2

1+t2

（t＞1），
即需证（1+t²）lnt＞2t-2，
设H（t）=（1+t²）lnt-（2t-2）（t＞1），
H′（t）=2tlnt+

(t-1)2

t

，
∴H（t）在（1，+∞）上递增，
∴H（t）＞H（1）=0，
∴（1+t²）lnt＞2t-2，
∴原不等式得证．

点评：点评：本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、换元法、等价转化思想的合理运用．