Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x²+y²=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足

OM

=

1

2

（

OP

+

OD

）的动点M的轨迹为Γ．
（Ⅰ）求轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹F于点Q，且

OQ

=λ

OG

，λ∈R．
①证明：λ²m²=4k²+1；
②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．

Answer 1

考点：轨迹方程,函数解析式的求解及常用方法

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．
②由已知条件得m≠0，|x₁-x₂|=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，由此能求出△AOB的面积，再利用基本不等式求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x₀，y₀），则D（x₀，0），且x₀²+y₀²=4，①
∵

OM

=

1

2

（

OP

+

OD

），
∴x₀=x，y₀=2y，②
②代入①可得x²+4y²=4；
（Ⅱ）①证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

（1）
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+4k2

，
又由中点坐标公式，得G（

-4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），
将Q（

-4λkm

1+4k2

，

λm

1+4k2

）代入椭圆方程，化简，得λ²m²=1+4k²，（2）．
②解：由（1），（2）得m≠0，λ＞1且|x₁-x₂|=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，（3）
结合（2）、（3），得S_△AOB=

2 λ2-1

λ2

，λ∈（1，+∞），
令

λ2-1

=t∈（0，+∞），则S=

2t

t2+1

≤

2

t+ 1 t

≤1（当且仅当t=1即λ=

2

时取等号），
∴λ=

2

时，S取得最大值1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查方程的证明，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．