题目内容
已知P为椭圆上任意一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，求证：过点P的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角．
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出切线PT的方程，求出点F1，F2到PT的距离，判断△PMF1∽△PNF2，即可得到结论．
解答：
证明：设F1（-c，0），F2（c，0），P（x0，y0），
如图过F1，F2作切线PT的垂线，垂足分别为M，N，
∵切线PT的方程为
+
=1，
∴点F1，F2到PT的距离为|F1M|=-
，|F2N|=
，
∴
=
=
，
∴△PMF1∽△PNF2，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠4，
∴∠2=∠4．
∴过点P的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角．
证明：设F1（-c，0），F2（c，0），P（x0，y0），如图过F1，F2作切线PT的垂线，垂足分别为M，N，
∵切线PT的方程为
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
∴点F1，F2到PT的距离为|F1M|=-
|-
| ||||||
|
|
| ||||||
|
∴
| |F1M| |
| |F2N| |
| |a+ex0| |
| |a-ex0| |
| |PF1| |
| |PF2| |
∴△PMF1∽△PNF2，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠4，
∴∠2=∠4．
∴过点P的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角．
点评：本题主要考查综合考查圆锥的性质，考查点到直线的距离公式，综合性较强．
练习册系列答案
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