Question

9．已知O为坐标原点，双曲线${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{17}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得b，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．

解答 解：由双曲线方程可得渐近线方程bx±y=0，
设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，
则l的方程为：bx+y-bm-n=0，l与渐近线bx-y=0交点为A，
则A（$\frac{bm+n}{2}$，b•$\frac{bm+n}{2}$），|OA|=|$\frac{bm+n}{2}$|$\sqrt{1+{b}^{2}}$，
P点到OA的距离是：d=$\frac{|bm-n|}{\sqrt{{b}^{2}+1}}$，
∵|OA|•d=1，∴|$\frac{bm+n}{2}$||$\sqrt{1+{b}^{2}}$•$\frac{|bm-n|}{\sqrt{{b}^{2}+1}}$=1，
∴b=2，∴c=$\sqrt{5}$，
∴e=$\sqrt{5}$
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．