Question

4．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2x+1}{x}$（a∈R）在x=2处的切线与直线4x+y=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x∈（1，+∞），使f（x）$＜\frac{m（x-1）+2}{x}$（m∈Z）成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）的值，求出a，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为存在x∈（1，+∞），使$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$成立，得到m＞g（x）_min，设$g（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{ax-1}{x^2}$，
由已知，$f'（2）=\frac{2a-1}{4}=\frac{1}{4}$，解得：a=1，
∴$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
当x∈（0，1]时，f'（x）≤0，f （x）是减函数，
当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f （x）是增函数，
∴函数f （x）的单调递减区间是（0，1]，单调递增区间是[1，+∞）．
（Ⅱ）解：∵x∈（1，+∞），
∴$f（x）＜\frac{m（x-1）+2}{x}$等价于$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，
即存在x∈（1，+∞），使$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$成立，
∴m＞g（x）_min，
设$g（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，
则$g'（x）=\frac{x-2-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}$，
设h（x）=x-2-lnx（x＞1），
则$h'（x）=1-\frac{1}{x}＞0$
∴h （x）在（1，+∞）上单调递增，
又h （3）＜0，h （4）＞0，
∴h （x）在（1，+∞）上有唯一零点，
设为x₀，则x₀-2=lnx₀，且x₀∈（3，4），
$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}ln{x_0}+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}（{x_0}-2）+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}={x_0}+1$，
又m＞x₀+1，
∴m的最小值是5．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数存在性问题，是一道中档题．