Question

11．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2t-1\\ y=-4t-2\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{2}{1-cosθ}$．
（ I）求曲线C₂的直角坐标系方程；
（ II）设M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，求|M₁M₂|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把$ρ=\frac{2}{1-cosθ}$变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}x=2t-1\\ y=-4t-2\end{array}\right.$（t为参数），消去t得到曲线C₁的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，把|M₁M₂|的最小值转化为M₂到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M₂（r²-1，2r），然后由点到直线的距离公式结合配方法求解．

解答 解：（I）由ρ=$\frac{2}{1-cosθ}$可得ρ=x+2，∴ρ²=（x+2）²①，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴x²+y²=ρ（cos²θ+sin²θ）=ρ²②
由①②两式子可得
y²=4（x+1）；
（Ⅱ）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2t-1\\ y=-4t-2\end{array}$（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．
∴曲线C₁的直角坐标方程为2x+y+4=0．
∵M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，
∴|M₁M₂|的最小值等于M₂到直线2x+y+4=0的距离的最小值．
设M₂（r²-1，2r），M₂到直线2x+y+4=0的距离为d，
则d=$\frac{2|{r}^{2}+r+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2[（r+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}]}{\sqrt{5}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．
∴|M₁M₂|的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础的计算题．