Question

6．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意互不相同的x₁，x₂∈（2，4），都有|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的解析式，得到2ax+a+b=2x-1，根据系数对应相等，求出a，b的值即可；
（2）问题转化为f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，根据g（x）=f（x）-kx在（2，4）递减以及二次函数的性质得到关于k的不等式，解出即可．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=3得c=3，
故f（x）=ax²+bx+3．
因为f（x+1）-f（x）=2x-1，
所以a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=2x-1．
即2ax+a+b=2x-1，
根据系数对应相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-2x+3；
（2）由于f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，即有f（x）在（2，4）递增，
设x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|即为f（x₁）-f（x₂）＜k（x₁-x₂），
即有f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，
由题意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）递减．
由g（x）=x²-（2+k）x+3，对称轴为x=$\frac{2+k}{2}$，
即有$\frac{2+k}{2}$≥4，解得k≥6，则实数k的取值范围为[6，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及绝对值问题，是一道中档题．