Question

15．已知正三棱锥的底面边长为3，高为h，若正三棱锥的侧面积与体积的比为4$\sqrt{3}$，则正三棱锥的高为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，作出正三棱锥的高与斜高，求出侧面积与体积，结合侧面积与体积的比为4$\sqrt{3}$，求得h．

解答 解：如图，A-BCD为正三棱锥，过A作AO⊥底面BCD，垂足为O，则AO=h，
∵底面BCD是边长为3的正三角形，则$OG=\frac{1}{3}CG=\frac{1}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AG=$\sqrt{G{O}^{2}+{h}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}+{h}^{2}}$，
∴正三棱锥的侧面积S=$3×\frac{1}{2}×3×\sqrt{\frac{3}{4}+{h}^{2}}=\frac{9}{2}\sqrt{\frac{3}{4}+{h}^{2}}$，
${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}h=\frac{3\sqrt{3}}{4}h$，
由题意，得$\frac{\frac{9}{2}\sqrt{\frac{3}{4}+{h}^{2}}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}h}=4\sqrt{3}$，解得h=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是基础题．