Question

14．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm²．设∠AOC=xrad．
（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

Answer 1

分析 （1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，S=$\frac{1}{2}•40x•40$+$\frac{1}{2}•40•80•sin（π-x）$
=800x+1600sinx（0＜x＜π）；
（2）S′=800+1600cosx，
∴0≤x≤$\frac{2π}{3}$，S′＞0，π＞x＞$\frac{2π}{3}$，S′＜0，
∴x=$\frac{2π}{3}$，S取得最大值$\frac{1600π}{3}$+800$\sqrt{3}$m²．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．