Question

6．已知函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值点．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3（4-a）=0}\\{8-6a+b=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=24}\end{array}\right.$；
（2）∵f′（x）=3（x²-a），（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，
此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=±$\sqrt{a}$，
当x∈（-∞，-$\sqrt{a}$）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈[$\sqrt{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时x=-$\sqrt{a}$是f（x）的极大值点，x=$\sqrt{a}$是f（x）的极小值点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．