Question

5．已知函数f（x）=x³-2x²+x+3，
（1）$x∈[{\frac{2}{3}，1}]$时求值域．
（2）若F（x）=f（x）+m有三个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0求得原函数的单调区间．
（1）可知函数在[$\frac{2}{3}$，1]上为减函数，求出两端点的函数值，则$x∈[{\frac{2}{3}，1}]$时求值域可求；
（2）把F（x）=f（x）+m有三个零点，转化为方程f（x）+m=0有三个根，即y=f（x）的图象与y=-m有三个不同交点，结合（1）作出f（x）图象的大致形状，数形结合得答案．

解答 解：由f（x）=x³-2x²+x+3，得f′（x）=3x²-4x+1，
由3x²-4x+1＞0，得x＜$\frac{1}{3}$或x＞1；
由3x²-4x+1＜0，得$\frac{1}{3}$＜x＜1．
∴f（x）的单调增区间为（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）；单调减区间为（$\frac{1}{3}$，1）．
（1）由上可知，函数在[$\frac{2}{3}$，1]上单调递减．
∴当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）的最大值是f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{83}{27}$，
当x=1时，f（x）的最小值是f（1）=3．
∴$x∈[{\frac{2}{3}，1}]$时，值域是[3，$\frac{83}{27}$]；
（2）F（x）=f（x）+m有三个零点，即方程f（x）+m=0有三个根，
也就是y=f（x）的图象与y=-m有三个不同交点，如图：
则3＜-m＜$\frac{83}{27}$，解得-$\frac{83}{27}$＜m＜-3．
∴m的取值范围是（-$\frac{83}{27}$，-3）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的极值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．