Question

设函数f（x）=

1

(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3

，其中k＜-2．
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜-6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的定义域及其求法,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．
（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．

解答： 解：（1）设t=x²+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=

1

t2+2t-3

，
要使函数有意义，则t²+2t-3＞0，解得t＞1或t＜-3，
即x²+2x+k＞1或x²+2x+k＜-3，
则（x+1）²＞2-k，①或（x+1）²＜-2-k，②，
∵k＜-2，∴2-k＞-2-k，
由①解得x+1＞

2-k

或x+1＜-

2-k

，即x＞

2-k

-1或x＜-1-

2-k

，
由②解得-

-2-k

＜x+1＜

-2-k

，即-1-

-2-k

＜x＜-1+

-2-k

，
综上函数的定义域为（

2-k

-1，+∞）∪（-∞，-1-

2-k

）∪（-1-

-2-k

，-1+

-2-k

）．

（2）f′(x)=-

2(x2+2x+k)(2x+2)+2(2x+2)

2 (x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3 3

=-

(x2+2x+k+1)(2x+2)

( (x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3 )3

，
由f'（x）＞0，即（x²+2x+k+1）（2x+2）＜0，则（x+1+

-k

）（x+1-

-k

）（x+1）＜0
解得x＜-1-

-k

或-1＜x＜-1+

-k

，结合定义域知，x＜-1-

2-k

或-1＜x＜-1+

-2-k

，
即函数的单调递增区间为：（-∞，-1-

2-k

），（-1，-1+

-2-k

），
同理解得单调递减区间为：（-1-

-2-k

，-1），（-1+

2-k

，+∞）．
（3）由f（x）=f（1）得（x²+2x+k）²+2（x²+2x+k）-3=（3+k）²+2（3+k）-3，
则[（x²+2x+k）²-（3+k）²]+2[（x²+2x+k）-（3+k）]=0，
∴（x²+2x+2k+5）（x²+2x-3）=0
即（x+1+

-2k-4

）（x+1-

-2k-4

）（x+3）（x-1）=0，
∴x=-1-

-2k-4

或x=-1+

-2k-4

或x=-3或x=1，
∵k＜-6，
∴1∈（-1，-1+

-2k-4

），-3∈（-1-

-2k-4

，-1），
∵f（-3）=f（1）=f（-1-

-2k-4

）=f（-1+

-2k-4

），
且满足-1-

-2k-4

∈（-∞，-1-

-2-k

），-1+

-4+2k

∈（-1+

2-k

，+∞），
由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为：
（-1-

-4-2k

，-1-

2-k

）∪（-1-

-2-k

，-3）∪（1，-1+

-2-k

）∪（-1+

2-k

，-1+

-4-2k

）．

点评：本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．