Question

17．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a、1-b、c成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则b的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{2}{3}）$
• B． $（-∞，\frac{1}{2}]$
• C． $（0，\frac{2}{3}）$
• D． $（0，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 分别运用等差数列和等比数列的中项的性质，结合正弦定理和基本不等式，可得b的不等式，解得b的范围．

解答 解：a、1-b、c成等差数列，
可得a+c=2（1-b），
由sinA、sinB、sinC成等比数列，
可得sin²B=sinAsinC，
运用正弦定理可得sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
即为b²=ac，
由a+c≥2$\sqrt{ac}$可得
2（1-b）≥2b，
则0＜b≤$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查等差数列和等比数列中项的性质，以及正弦定理的运用，考查基本不等式的运用，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．