Question

已知log₃²x-2log₃x-3≤0，求函数f（x）=log₂（

x

32

）•log₂（2x）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：求解对数不等式得到x的范围，进一步求得log₂x的范围，化简f（x）=log₂（

x

32

）•log₂（2x）后利用配方法求得最值．

解答： 解：由log₃²x-2log₃x-3≤0，解得：-1≤log₃x≤3，
∴

1

3

≤x≤27．
则f（x）=log₂（

x

32

）•log₂（2x）
=(log2x-log225)•(1+log2x)
=（log₂x-5）（log₂x+1）=(log2x)2-4log2x-5
=(log2x-2)2-9．
∵

1

3

≤x≤27，∴-log₂3≤log₂x≤3log₂3，
∴当log₂x=2，即x=4时，f（x）_min=-9；
当log₂x=-log₂3，即x=

1

3

时，f(x)max=(log23)2+4log23-5．

点评：本题考查了对数函数的运算性质，考查了利用配方法求函数的最值，是基础题．