Question

 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n(n，S_n)都在函数f(x)＝x²＋2x的图象上，且在点P_n(n，S_n)处的切线的斜率为k_n.

(1) 求数列{a_n}的通项公式；

(2) 若b_n＝2k_na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解： (1) ∵ 点P_n(n，S_n)在函数f(x)＝x²＋2x的图象上，

∴ S_n＝n²＋2n(n∈N^*)，当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n＋1，当n＝1时，a₁＝S₁＝3满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝2n＋1.

(2) 由f(x)＝x²＋2x，求导得f′(x)＝2x＋2.

∵ 在点P_n(n，S_n)处的切线的斜率为k_n，

∴ k_n＝2n＋2，∴ b_n＝2k_na_n＝4·(2n＋1)·4ⁿ，

∴ T_n＝4×3×4＋4×5×4²＋4×7×4³＋…＋4×(2n＋1)×4ⁿ，

用错位相减法可求得T_n＝·4^n＋2－.