Question

19．已知函数f（x）满足xf′（x）=（x-1）f（x），且f（1）=1，则f（x）的值域为（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．

解答 解：∵xf′（x）=（x-1）f（x），
∴f（x）+xf′（x）=xf（x）
设g（x）=xf（x），
则g′（x）=f（x）+xf′（x），
即g′（x）=g（x），
则g（x）=ce^x，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）=1，
即g（1）=ce=1，则c=$\frac{1}{e}$，
则g（x）=xf（x）=$\frac{1}{e}$•e^x，
则f（x）=$\frac{{e}^{x}}{ex}$，（x≠0），
函数的导数f′（x）=$\frac{{e}^{x}ex-{e}^{x}•e}{（ex）^{2}}$=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{e{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数f（x）取得极小值，此时f（1）=$\frac{e}{e}$=1，即当x＞0时，f（x）≥1，
当x＜0时，函数f（x）单调递减，且f（x）＜0，
综上f（x）≥1或f（x）＜0，
即函数的值域为（-∞，0）∪[1，+∞），
故答案为：（-∞，0）∪[1，+∞），

点评 本题主要考查函数与导数的关系，根据条件构造函数，利用导数研究函数的极值和单调性是解决本题的关键．