Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数f（x）的最小值为y₀，且y₀≤-x₂，则函数y=f（|f（x）|）的零点个数是

 

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Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），借助韦达定理可分析出x₁＜0＜x₂，即函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点x₂，则当且仅当|f（x）|=x₂时，f（|f（x）|）=0，分析|f（x）|=x₂解的个数可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴x₁•x₂=

c

a

＜0，即x₁，x₂异号，
故x₁＜0＜x₂，
即函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点x₂，
故当且仅当|f（x）|=x₂时，f（|f（x）|）=0，
又∵y₀≤-x₂，故|f（x）|=x₂有四个解，
故函数y=f（|f（x）|）的零点个数是4个．
故答案为：4

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，其中将问题转化为分析|f（x）|=x₂解的个数，是解答的关键．