Question

18．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a，b＞0）的最大值是12，则a²+b²的最小值是（　　）

• A． $\frac{6}{13}$
• B． $\frac{36}{5}$
• C． $\frac{36}{13}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得2a+3b=6，再由点到直线的距离公式求得a²+b²的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图所示，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（4，6），
化目标函数z=ax+by为y=-$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图可知，
当直线y=-$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过点A（4，6）时，z有最大值为4a+6b=12．
∴2a+3b=6．
由原点O（0，0）到直线2a+3b-6=0的距离d=$\frac{|-6|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{13}}$，
可得a²+b²的最小值是$\frac{36}{13}$．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．