Question

8．如图，AB=BE=BC=2AD=2，且AB⊥BE，∠DAB=60°，AD∥BC，BE⊥AD，
（Ⅰ）求证：面ADE⊥面 BDE；
（Ⅱ）求直线AD与平面DCE所成角的正弦值．．

Answer 1

分析 （Ⅰ）AB=2AD，∠DAB=60°，可得AD⊥DB，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（Ⅱ）由已知可得BE⊥面ABCD，点E到面ABCD的距离就是线段BE的长为2，设AD与平面DCE所成角为θ，点A到面DCE的距离为d，利用V_A-DCE=V_E-ADC，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵AB=2AD，∠DAB=60°，∴AD⊥DB，
又BE⊥AD，且BD∩BE=B，
∴AD⊥面BDE，又AD?面ADE，∴面ADE⊥面 BDE；
（Ⅱ）∵BE⊥AD，AB⊥BE，∴BE⊥面ABCD，
∴点E到面ABCD的距离就是线段BE的长为2，
设AD与平面DCE所成角为θ，点A到面DCE的距离为d，
由V_A-DCE=V_E-ADC得：$\frac{1}{3}×d×{S_{△CDE}}=\frac{1}{3}×|BE|×{S_{△ACD}}$，可解得$d=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
而AD=1，则$sinθ=\frac{d}{|AD|}=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、线面角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．