Question

8．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1（{a_1}＞{b_1}＞0）$，双曲线C₂：$\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1（{a_2}＞0，{b_2}＞0）$，以C₁的短轴为一条最长对角线的正六边形与x轴正半轴交于点M，F为椭圆右焦点，A为椭圆右顶点，B为直线$x=\frac{a_1^2}{c_1}$与x轴的交点，且满足|OM|是|OA|与|OF|的等差中项，现将坐标平面沿y轴折起，当所成二面角为60°时，点A，B在另一半平面内的射影恰为C₂的左顶点与左焦点，则C₂的离心率为2．

Answer 1

分析 利用双曲线的定义、平面几何知识得到是${a_1}+{c_1}=\sqrt{3}{b_1}$，可得a₁=2c₁． $|OP|=\frac{a_1}{2}={a_2}$，设双曲线左焦点为Q，则$|OQ|=\frac{1}{2}\;•\;\frac{a_1^2}{c_1}={a_1}={c_2}$，可得${e_2}=\frac{c_2}{a_2}=2$．

解答 解：由题，|OA|+|OF|=2|OM|，由正六边形得$|OM|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{b_1}$．于是${a_1}+{c_1}=\sqrt{3}{b_1}$，可得a₁=2c₁．
当所成二面角为60°时，设双曲线左顶点为P，
则$|OP|=\frac{a_1}{2}={a_2}$，
设双曲线左焦点为Q，
则$|OQ|=\frac{1}{2}\;•\;\frac{a_1^2}{c_1}={a_1}={c_2}$，
所以${e_2}=\frac{c_2}{a_2}=2$．
故答案为：2

点评 本题考查了双曲线的离心率，解题时多用平面几何知识及定义，属于中档题．