Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中点．
（1）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；
（2）求异面直线AE与A₁C所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间角

分析：（1）利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、直棱柱的表面积计算公式即可得出；
（2）利用直角三角形的边角关系、余弦定理、异面直线所成的角即可得出．

解答： 解：（1）S△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

•1•1=

1

2

，
S侧=(AB+BC+AC)•AA1=(1+

2

+1)•2=4+2

2

，
∴S全=2S△ABC+S侧=5+2

2

．
（2）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，则A₁E₁∥AE，即∠CA₁E₁即为异面直线AE与A₁C所成的角θ．
连接E₁C．
在Rt△E₁C₁C中，由E1C1=

2

2

，CC₁=2
知A1C=

1 2 +4

=

3 2

2

在Rt△A₁C₁C中，由A₁C₁=1，CC₁=2知A1C=

5

，
在△A₁E₁C中，cosθ=

( 2 2 )2+( 5 )2-( 3 2 2 )2

2• 2 2 • 5

=

1

10

=

10

10

，
∴θ=arccos

10

10

．

点评：本题考查了三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、直棱柱的表面积计算公式、直角三角形的边角关系、余弦定理、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和实践能力，属于基础题．