Question

在数列{a_n}中，a_n＞0，S_n为其前n项和，向量

AB

=（S_n，p²-a_n），

CD

=（1，p-1），且

AB

∥

CD

，其中p＞0且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若p=

1

2

，数列{b_n}满足对任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-

1

2

n-1，求数列{b_n}的前n项和
T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，从而得到an+1=

1

p

an，由此求出an=(

1

p

)n-2，n∈N^*．
（2）当p=

1

2

时，an=2n-2，n∈N^*，由已知条件求出b₁=1，由b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂+b_na₁=2n-

1

2

n-1，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵

AB

∥

CD

，∴（p-1）S_n=p²-a_n，
由n=1，(p-1)a1=p2-a1，解得a₁=p，
又由

(p-1)Sn=p2-an (p-1)Sn+1=p2-an+1

，
两式相减得：（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，∴an+1=

1

p

an，
∴数列{a_n}是以首项为p，公比为

1

p

的等比数列，
∴an=(

1

p

)n-2，n∈N^*．
（2）当p=

1

2

时，an=2n-2，n∈N^*，
在b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2n-

1

2

n-1中，
令n=1，则b1a1=2-

1

2

-1=

1

2

，
∵a1=

1

2

，∴b₁=1，
∵b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂+b_na₁=2n-

1

2

n-1，①
∴b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=2n-1-

1

2

n-

1

2

，n≥2，
将上式两边同乘公比

1

p

=2得，
b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂=2ⁿ-n-1，（n≥2），②
①减去②得，bna1=

n

2

，∴b_n=n，n≥2，又b₁=1，∴b_n=n，n∈N^*，
∴{b_n}的前n项和T_n=

n(n+1)

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．