题目内容
如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．
考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用
分析：（1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直．
（2）利用向量法求线面角的大小．
（2）利用向量法求线面角的大小．
解答：
解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M（0，1，1）…3
=（0，1，1），
=（0，2，0）-（0，0，2）=（0，2，-2），
=（2，2，0）-（0，2，0）=（2，0，0），
∴
•
=0，
•
=0，
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC． …（5分）
（2）∵AM⊥平面EBC，∴
为平面EBC的一个法向量，
∵
=（0，1，1），
=（2，2，0），
∴cos＜
，
＞=
=
．
∴＜
，
＞=60°．
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）
解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M（0，1，1）…3
| AM |
| EC |
| CB |
∴
| AM |
| EC |
| AM |
| CB |
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC． …（5分）
（2）∵AM⊥平面EBC，∴
| AM |
∵
| AM |
| AB |
∴cos＜
| AB |
| AM |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∴＜
| AB |
| AM |
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）
点评：本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．
练习册系列答案
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