Question

已知圆C1的参数方程为

x=2cosφ y=2sinφ

（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂的极坐标方程为ρ=4sin（θ+

π

3

）．
（1）将圆C₁的参数方程化为普通方程，将圆C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）圆C₁，C₂是否相交？若相交，请求出公共弦长，若不相交，请说明理由．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）把C₁的参数方程消去参数φ，C₂的极坐标方程化为普通方程；
（2）由圆C₁与圆C₂的圆心距和两圆半径的关系，判断两圆相交．求出公共弦方程，即可求出公共弦长．

解答： 解：（1）∵C₁的参数方程为

x=2cosφ y=2sinφ

（φ为参数），
∴消去参数φ，得x²+y²=4，
由ρ=4sin（θ+

π

3

）得ρ²=4ρ（sinθcos

π

3

+cosθsin

π

3

），
即x²+y²=2y+2

3

x，整理得（x-

3

）²+（y-1）²=4．…（5分）
（2）圆C₁表示圆心在原点，半径为2的圆，圆C₂表示圆心为（

3

，1），半径为2的圆，
又圆C₂的圆心（

3

，1）在圆C₁上，由几何性质可知，两圆相交．
两圆方程相减可得公共弦方程为

3

x+y-2=0，
圆心（0，0）到直线的距离为

2

3+1

=1，
∴公共弦长为2

4-1

=2

3

…（10分）

点评：本题考查了坐标系与参数方程的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再解答问题，是基础题．