Question

已知：a=x²-2y+

π

3

，b=y²-2z+

π

6

，c=z²-2x+

π

2

（x，y，z∈R），证明：a，b，c中至少有一个是正数．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：推理和证明

分析：利用反证法证明a，b，c中至少有一个大于0．写出命题的否定形式，然后推出与假设矛盾的结果即可．

解答： 证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0，
而a+b+c=(x2+2y+

π

2

)+(y2-2z+

π

3

)+(z2-2x+

π

6

)
=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3＞0．
这与假设矛盾，所以a，b，c中至少有一个大于0

点评：本题考查反证法证明不等式的命题方法，基本证明步骤方法分应用，注意命题的否定形式．