题目内容
如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，求：（1）四边形ABCD的面积；
（2）圆O的直径．
考点：圆內接多边形的性质与判定
专题：直线与圆
分析：（1）首先利用余弦定理求出B的余弦，进而求出B的正弦，然后利用三角形ABC和三角形ADC的面积的和，求出四边形ABCD的面积即可；
（2）首先利用余弦定理求出AC的值是多少，然后根据圆O的直径与AC的关系，求出圆O的直径是多少即可．
（2）首先利用余弦定理求出AC的值是多少，然后根据圆O的直径与AC的关系，求出圆O的直径是多少即可．
解答：
解：（1）连接AC，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB
=22+62-2×2×6•cosB
=40-24cosB
又AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cosD
=42+42-2×4×4•cosD
=32-32cosD
=32+32cosB
∴40-24cosB=32+32cosB
∴56cosB=8
∴cosB=
⇒sinB=
∴S=
AB•BC•sinB+
AD•DC•sinD=8
（2）AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=
，
∴AC=
，
所以直径=2R=
=
，
即圆O的直径是
．
=22+62-2×2×6•cosB
=40-24cosB
又AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cosD
=42+42-2×4×4•cosD
=32-32cosD
=32+32cosB
∴40-24cosB=32+32cosB
∴56cosB=8
∴cosB=
| 1 |
| 7 |
| 4 |
| 7 |
| 3 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（2）AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=
| 256 |
| 7 |
∴AC=
| 16 |
| 7 |
| 7 |
所以直径=2R=
| AC |
| sinB |
| 4 |
| 3 |
| 21 |
即圆O的直径是
| 4 |
| 3 |
| 21 |
点评：本题主要考查了圆的内接四边形的性质，考查了余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式的应用，考查了运算求解的能力，属于基础题．
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