Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的离心率为

2

2

，上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线y=-3分别相交于点M、N，设直线AP、BP的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）求直线MN长度的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件知e=

c

a

=

1

a

=

2

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k₁，k₂，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论．
（Ⅲ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅱ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的离心率为

2

2

，
∴e=

c

a

=

1

a

=

2

2

，解得a=

2

，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上，
∴A（0，1），B（0，-1），设P（x₀，y₀），∵异于点A、B，∴x₀≠0，
∴直线AP的斜率k₁=

y0-1

x0

，直线BP的斜率k₂=

y0+1

x0

，
∵P（x₀，y₀）在

x2

2

+y2=1上，∴

x02

2

+y02=1，x₀≠0，
∴k1k2=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=

- x02 2

x02

=-

1

2

．
∴k₁•k₂为定值-

1

2

．
（Ⅲ）解：由题意，直线AP：y-1=k₁x，直线PB：y+1=k₂x，
∵直线AP、BP与直线y=-3分别相交于点M、N，
∴由

y-1=k1x y=-3

，得M（-

4

k1

，-3），
由

y+1=k2x y=-3

，刘N（-

2

k2

，-3），
∴|MN|=|

4

k1

-

2

k2

|，又k1•k2=-

1

2

，∴k2=-

1

2k1

，
∴|MN|=|

4

k1

+4k1|=

4

|k1|

+4|k1|
≥2

4 |k1| •4|k1|

=8．
当且仅当

4

|k1|

=4|k1|，即k₁=±1时，等号成立，
∴MN的最小值是8．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用基本不等式求最值，考查了椭圆方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．